全国2008年4月高等教育自学考试线性代数试题

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，m≠n, 则下列矩阵中为n阶矩阵的是（　　　）
A.BTAT B.ATBT
C.ABA D.BAB
2.设行列式D= =3，D1= ，则D1的值为（　　　）
A.-15 B.-6
C.6 D.15
3.设A为n阶方阵，n≥2，则|-5A|=（　　　）
A.(-5)n|A| B.-5|A|
C.5|A| D.5n|A|
4.设A= ,则|A*|=（　　　）
A.-4 B.-2
C.2 D.4
5.向量组α1，α2…，αS（s>2）线性无关的充分必要条件是（　　　）
A. α1，α2，…，αS均不为零向量
B. α1，α2，…，αS中任意两个向量不成比例
C. α1，α2，…，αS中任意s-1个向量线性无关
D. α1，α2，…，αS中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示
6.设3元线性方程组Ax=b，A的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1+η2=(2,0,4)T，η1+η3=（1，-2，1）T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（　　　）
A.(1,0,2)T+k(1,-2,1)T B.(1,-2,1)T+k(2,0,4)T
C.(2,0,4)T+k(1,-2,1)T D.(1,0,2)T+k(1,2,3)T
7.设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（　　　）
A.E-A B.-E-A
C.2E-A D.-2E-A
8.设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2)-1必有一个特征值等于（　　　）
A. B.
C.2 D.4
9.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（　　　）
A. B.
C. D.
10.二次型f(x1,x2,x3,x4,)= 的秩为（　　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
11.行列式 =__________.
12.设矩阵A= ，P= ，则APT=__________.
13.设A是4×3矩阵，秩（A）=2，若B= ，则秩（AB）=__________.
14.已知向量组 ， ， 的秩为2，则数t=__________.
15.设矩阵A= ，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=__________.
16.已知λ=0为矩阵A= 的2重特征值，则A的另一特征值为________.
17.已知向量α=(2，1，0，3)T，β=(1,-2,1,k)T, α与β的内积为2，则数k=________.
18.设向量α= T为单位向量，则数b=________.
19.二次型f(x1,x2,x3)= 的矩阵为________.
20.已知二次型f(x1,x2,x3)=(k+1) + (k-1) + (k-2) 正定，则数k的取值范围为________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式D= 的值.
22．已知矩阵A= ，B= ，
（1）求A的逆矩阵A-1；
（2）解矩阵方程AX=B.
23.设向量α=(1，-1，-1，1)，β=（-1，1，-1）,求（1）矩阵A=αTβ; （2）A2。
24．设向量组α1=（1，-1，2，4）T，α2=（0，3，1，2）T，α3=（3，0，7，14）T，
α4=（1，-1，2，0）T，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
25．求线性方程组 的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.
26．用正交变换化二次型f(x1, x2, x3)= 为标准形，并写出所用的正交变换.
四、证明题（本大题6分）
27．设a，b，c为任意实数，证明向量组α1=（1，a，1，1）T，α2=（1，b，1，0）T,
α3=（1，c，0，0）T线性无关.